MATEMATIKA

Limit Fungsi

PENGERTIAN LIMIT FUNGSI

LIMIT FUNGSI: Mendekati hampir, sedikit lagi, atau harga batas
Limit fungsi:Suatu limit f(x) dikatakan mendekati A {f(x) → A} sebagai suatu limit.
Bila x mendekati a {x→a}Dinotasikan Lim F(x) = A
x→a
Langkat-langkah mengerjakan limit fungsi (supaya bentuk tak tentu dapat dihindari) adalah ….
 Subtitusi langsung.
 Faktorisasi.
 Mengalikan dengan bilangan sekawan.
 Membagi dengan variabel pangkat tertinggi.

SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI
Berapa teorema limit:
Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B
x → a x →a
Maka
1. Lim [k.f(x)] = k Lim f(x)
x→a x→a

= k. A

2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x→a x→a x→a

= A + B

3. Lim [f(x) x g(x)]
x→a

= Lim f(x) x Lim g(x)
x→a x→a

= A x B

4. Lim f(x) Lim f(x)
x→a g(x) = x→a . = A
Lim g(x) B
x→a
n n n
5. Lim f(x). = Lim f(x) = A
x→a x→a
n n n
6. Lim √ f(x) = √ Lim f(x) = √ A
x→a x→a

Soal latihan:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x→2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Pembahasan 1: Lim 3x = 3(2) = 6
x→2
Pembahasan 2:Lim 3x = 3 Lim x = 3(2) = 6
x→2 x→2

2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….
x→2
a. -2
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
Pembahasan:
Lim (2x+4) = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8
x→2
3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….
x → 3
a. -6
b. 8
c. 12
d. 14
e. 16
Pembahasan 1: Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12
x→3 x→3

Pembahasan 2: Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x
x→3 x→3 x→3
= 6(3) – 2(3)
= 18 – 6 = 12

LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTU
Limit fungsi bentuk 0
0
Jika f(x) = (x-a).h(x)
g(x) = (x-a).k(x)

Maka: Lim f(x) = Lim (x-a).h(x) = Lim h(x) = h(a)
x→a g(x) x→a (x-a).k(x) x→a k(x) k(a)

Limit Fungsi Bentuk ~
~
Jika diketahui limit tak hingga (~)

Sebagai berikut: Lim axn + bxn-1 + cxn-2 + …+ d = R
x→~ pxm + qxm-1 + rxm-2 + … + s
Maka:
1. R= 0 jika nm

Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)

a. Lim √ ax +b - √ px +q = R
x→~
Maka: 1. R= ~ jika a>p
2. R= 0 jika a=p
3. R= -~ jika a

p
2. R = b-q jika a=p
2√a
3. R= -~ jika a

< m sehingga nilai R = 0 8. Nilai dari Lim 2x2 + 5x – 12 adalah…. x→-4 3x2 – 13x - 4 Pembahasan: Lim 2x2 + 5x – 12 x→-4 3x2 – 13x - 4 = Lim (2x – 3) (x – 4) x→-4 (3x + 1) (x – 4) = Lim (2x – 3) x→-4 (3x + 1) = 2(-4) – 3 = 11 3(-4 ) + 1 13 9. Nilai dari Lim 2x2 + 4x – 10 adalah…. x→~ 4x2 + 7 Pembahasan: Pangkat diatas = Pangkat dibawah Maka 2 = 1 4 2 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Rumus limit fungsi trigonometri 1. Lim x = 1 diperoleh lim sin x = 1 x→0 sin x x→0 x 2. Lim tan x = 1 diperoleh lim x = 1 x→0 x x→0 tan x Akibatnya : 1. lim sin ax = 1 x→0 ax 2. lim ax = 1 x→0 sin ax 3. lim tan ax = 1 x→0 ax 4. lim ax = 1 x→0 tan ax Contoh : 1. lim sin 3x = . lim 3 sin 3x = 3 lim sin 3x . = 3 . 1 = 3 x→0 2x x→0 2 3x 2 x→0 3x 2 2 2. lim 4x = . lim 4 5x = 4 lim 5x = 4 x→0 tan 5x x→0 5 tan 5x 5 x→0 tan x 5 3. lim sin 3x = lim 3 sin 3x . 7x = 3 lim sin 3x lim 7x x→0 tan 7x x→0 7 3x tan 7x 7 x→0 3x x→0 tan 7x = 3 . 1 . 1 7 = 3 7 4. lim 1 – cos 2x = lim 1 – ( 1 – 2 sin 2 x) x→0 3x2 x→0 3x2 = lim 2 sin 2x x→0 3x2 = 2 lim sin x 2 3 x→0 x2 III. Latihan Jawablah pertanyaan di bawah dengan benar 1. Nilai dari Lim x4 – 3x2 + 4x adalah…. x→0 2x3 – x2 - 2x 2. Nilai dari Lim x2 – 4 adalah…. x→2 x2 + x - 6 3. Nilai dari Lim 4x2 + 3x - 6 adalah …. x→~ 2x2 – 8x -1 4. Nilai dari Lim √ 4x2 – 2x + 6 - √ 4x2 + 2x -1 adalah…. x→~ 5. Nilai dari Lim (8x – 2)2 adalah…. x→~ (4x + 1)2 6. Nilai dari Lim x2 – x adalah…. x→0 x2 + 2x 7. Nilai dari Lim 6x3 - 4x2 + 2x – 1 adalah…. x→~ 3x4 – 2x3 + 5x + 2 8. Nilai dari Lim 2x2 + 5x – 12 adalah…. x→-4 3x2 – 13x - 4 9. Nilai dari Lim 2x2 + 4x – 10 adalah…. x→~ 4x2 + 7 10. lim 1 – cos x = … x→0 x tan x 11. lim 4 x cot x adalah … x→0 3 12. lim sin (a + x) – sin (a – x ) adalah … x→0 x IV. . Tes Formatif ( Terlampir) V. Daftar pustaka Tim penulis MGMP Matematika SMA kota Semarang, Matematika SMA / MA XI A IPA, ( Semarang : CV. Jabbaar Setia, 2008) Tim penyusun KREATIF Matematika, Matematika SMA/MA kelas XI IPA semester gasal, ( Klaten, Viva Pakarindo, 2007) Simangunsong Wilson, Matematika dasar, ( Jakarta: Erlangga, 2005) x
SIFAT-SIFAT LIMIT FUNGSI
Berapa teorema limit:
Bila Lim f(x) = A dan Lim g(x) = B
x → a x →a
Maka
1. Lim [k.f(x)] = k Lim f(x)
x→a x→a

= k. A

2. Lim [f(x)+g(x)] = Lim f(x) + Lim g(x)
x→a x→a x→a

= A + B

3. Lim [f(x) x g(x)]
x→a

= Lim f(x) x Lim g(x)
x→a x→a

= A x B

4. Lim f(x) Lim f(x)
x→a g(x) = x→a . = A
Lim g(x) B
x→a
n n n
5. Lim f(x). = Lim f(x) = A
x→a x→a
n n n
6. Lim √ f(x) = √ Lim f(x) = √ A
x→a x→a

Soal latihan:
1. Nilai dari Lim 3x adalah….
x→2
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 6
Pembahasan 1: Lim 3x = 3(2) = 6
x→2
Pembahasan 2:Lim 3x = 3 Lim x = 3(2) = 6
x→2 x→2

2. Nilai dari Lim (2x+4) adalah….
x→2
a. -2
b. 2
c. 4
d. 6
e. 8
Pembahasan:
Lim (2x+4) = 2(2) + 4 = 4 + 4 = 8
x→2
3. Nilai dari Lim [6x-2x] adalah….
x → 3
a. -6
b. 8
c. 12
d. 14
e. 16
Pembahasan 1: Lim [6x-2x] = Lim 4x = 4(3) = 12
x→3 x→3

Pembahasan 2: Lim [6x-2x] = Lim 6x – Lim 2x
x→3 x→3 x→3
= 6(3) – 2(3)
= 18 – 6 = 12

LIMIT FUNGSI BENTUK TAK TENTU
Limit fungsi bentuk 0
0
Jika f(x) = (x-a).h(x)
g(x) = (x-a).k(x)

Maka: Lim f(x) = Lim (x-a).h(x) = Lim h(x) = h(a)
x→a g(x) x→a (x-a).k(x) x→a k(x) k(a)

Limit Fungsi Bentuk ~
~
Jika diketahui limit tak hingga (~)

Sebagai berikut: Lim axn + bxn-1 + cxn-2 + …+ d = R
x→~ pxm + qxm-1 + rxm-2 + … + s
Maka:
1. R= 0 jika nm

Limit Fungsi Bentuk (~ - ~)

a. Lim √ ax +b - √ px +q = R
x→~
Maka: 1. R= ~ jika a>p
2. R= 0 jika a=p
3. R= -~ jika a

p
2. R = b-q jika a=p
2√a
3. R= -~ jika a

< m sehingga nilai R = 0 8. Nilai dari Lim 2x2 + 5x – 12 adalah…. x→-4 3x2 – 13x - 4 Pembahasan: Lim 2x2 + 5x – 12 x→-4 3x2 – 13x - 4 = Lim (2x – 3) (x – 4) x→-4 (3x + 1) (x – 4) = Lim (2x – 3) x→-4 (3x + 1) = 2(-4) – 3 = 11 3(-4 ) + 1 13 9. Nilai dari Lim 2x2 + 4x – 10 adalah…. x→~ 4x2 + 7 Pembahasan: Pangkat diatas = Pangkat dibawah Maka 2 = 1 4 2 LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI Rumus limit fungsi trigonometri 1. Lim x = 1 diperoleh lim sin x = 1 x→0 sin x x→0 x 2. Lim tan x = 1 diperoleh lim x = 1 x→0 x x→0 tan x Akibatnya : 1. lim sin ax = 1 x→0 ax 2. lim ax = 1 x→0 sin ax 3. lim tan ax = 1 x→0 ax 4. lim ax = 1 x→0 tan ax Contoh : 1. lim sin 3x = . lim 3 sin 3x = 3 lim sin 3x . = 3 . 1 = 3 x→0 2x x→0 2 3x 2 x→0 3x 2 2 2. lim 4x = . lim 4 5x = 4 lim 5x = 4 x→0 tan 5x x→0 5 tan 5x 5 x→0 tan x 5 3. lim sin 3x = lim 3 sin 3x . 7x = 3 lim sin 3x lim 7x x→0 tan 7x x→0 7 3x tan 7x 7 x→0 3x x→0 tan 7x = 3 . 1 . 1 7 = 3 7 4. lim 1 – cos 2x = lim 1 – ( 1 – 2 sin 2 x) x→0 3x2 x→0 3x2 = lim 2 sin 2x x→0 3x2 = 2 lim sin x 2 3 x→0 x2 III. Latihan Jawablah pertanyaan di bawah dengan benar 1. Nilai dari Lim x4 – 3x2 + 4x adalah…. x→0 2x3 – x2 - 2x 2. Nilai dari Lim x2 – 4 adalah…. x→2 x2 + x - 6 3. Nilai dari Lim 4x2 + 3x - 6 adalah …. x→~ 2x2 – 8x -1 4. Nilai dari Lim √ 4x2 – 2x + 6 - √ 4x2 + 2x -1 adalah…. x→~ 5. Nilai dari Lim (8x – 2)2 adalah…. x→~ (4x + 1)2 6. Nilai dari Lim x2 – x adalah…. x→0 x2 + 2x 7. Nilai dari Lim 6x3 - 4x2 + 2x – 1 adalah…. x→~ 3x4 – 2x3 + 5x + 2 8. Nilai dari Lim 2x2 + 5x – 12 adalah…. x→-4 3x2 – 13x - 4 9. Nilai dari Lim 2x2 + 4x – 10 adalah…. x→~ 4x2 + 7 10. lim 1 – cos x = … x→0 x tan x 11. lim 4 x cot x adalah … x→0 3 12. lim sin (a + x) – sin (a – x ) adalah … x→0 x IV. . Tes Formatif ( Terlampir) V. Daftar pustaka Tim penulis MGMP Matematika SMA kota Semarang, Matematika SMA / MA XI A IPA, ( Semarang : CV. Jabbaar Setia, 2008) Tim penyusun KREATIF Matematika, Matematika SMA/MA kelas XI IPA semester gasal, ( Klaten, Viva Pakarindo, 2007) Simangunsong Wilson, Matematika dasar, ( Jakarta: Erlangga, 2005)

Suku Banyak

SUKU BANYAK

Suku banyak (polinomial) adalah sebuah ungkapan aljabar yang variabel (peubahnya) berpangkat Bilangan bulat non negative.

Bentuk umum :

y = F(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + … + an-1x + an

Dengan n Є bilangan bulat
an ≠ 0
Pengertian-pengertian:
a0, a1, a2 ,…, an-1 , an
Disebut koefisien masing-masing bilangan real (walaupun boleh juga bilangan kompleks)

Derajat Suku Banyak adalah pangkat tertinggi dari pangkat-pangkat pada tiap-tiap suku, disebut n.Untuk suku banyak nol dikatakan tidak memiliki derajat.

Suku : a0xn , a1xn-1 , a2xn-2 , … , an-1x , an
Masing-masing merupakan suku dari suku banyak


Suku Tetap (konstanta)
A0 adalah suku tetap atau konstanta, tidak mengandung variabel/peubah. Sedangkan anxn adalah suku berderajat tinggi.

Soal
1. Diketahui suku banyak: f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7
Tentukan suku tetapnya.
Jawab :
Suku tetap adalah konstanta.
Maka, suku tetapnya adalah -7
2. Diketehui suku banyak: f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7
tentukan derajat suku banyaknya
Jawab:
Derajat suku banyak adalah pangkat tertinggi dari suku-suku yang ada.
x5 adalah pangkat tertinggi. Jadi f(x) berderajat 5

NILAI SUKU BANYAK

Jika f(x) = axn + bxn-1+CXN-2+…+f maka nilai suku banyak dapat dicari dengan cara subtitusi dan skematik.

Soal
1. Diketahui fungsi polinom f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7
Maka nilai fungsi tersebut untuk x=-2 adalah
a. -90 d. 45
b. -45 e. 90
c. 0
Pembahasan
f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7

Cara 1 (subtitusi): x = -2
f(-2)= 2(-2)5+3(-2)4+5(-2)2+(-2)-7
f(-2)= -45
Cara 2 (skematik)
f(x) = 2x5+3x4-5x2+x-7, x=-2
Ambil koefisiennya:
-2 2 3 0 -5 1 -7
-4 2 -4 18 -38 +
2 -1 2 -9 19 -45
Jadi nilai suku banyaknya -45

2. Diketahui fungsi kuadrat : f (x) = 1 x2 + 3 x - 5
2 4
untuk x=2 maka nilai suku banyak tersebut adalah:
Pembahasan:
Cara Substitusi: f(2) = 1 (2)2 + 3 (2) - 5
2 4
= 2 + 3 - 5
2
= - 3
2
Cara skematik:
2 1 3 - 5
2 4
1 7
2
1 7 -3
2 4 2
Jadi nilai suku banyaknya -3/2

OPERASI PADA SUKU BANYAK
Penjumlahan, pengurangn dan perkalian Suku Banyak

1. Penjumlahan
contohnya: f (x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 , g(x) = 4x3 – 6x2 + 7x - 1
Tentukan : f (x) + g(x)
Jawab : f (x) + g(x) = (3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3) + (4x3 – 6x2 + 7x – 1)
= 3x4 + (-2 +4)x3 + (5-6)x2 + (-4+7)x + (3-1)
= 3x4 + 2 x3 – 1x2 + 3x + 2
2. Pengurangan
contoh: : f (x) = 3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3 , g(x) = 4x3 – 6x2 + 7x - 1
Tentukan : f (x) - g(x)
Jawab : f (x) - g(x) = (3x4 – 2x3 + 5x2 – 4x + 3) - (4x3 – 6x2 + 7x – 1)
= 3x4 + (-2 -4)x3 + (5+6)x2 + (-4-7)x + (3+1)
= 3x4 - 6x3 +11x2 - 11x + 4
3. Perkalian
Contohnya: f (x) = 2x3 + 5x2 – 4x + 3 , g(x) = 6x2 + 7x - 1
Tentukan : f (x) x g(x)
Jawab : f (x) x g(x) = (2x3 + 5x2 – 4x + 3) x (6x2 + 7x – 1)
= 2x3 (6x2 + 7x – 1) + 5x2 (6x2 + 7x – 1)
– 4x (6x2 + 7x – 1) + 3 (6x2 + 7x – 1)
= 12x5 + 14x4 – 2x3 + 30x4 + 35x3 – 5x2
- 24x3 – 28x2 + 4x + 18x2 +21x - 3
= 12x5 + 34x4 – 26x3 – 15x2 + 25x – 3

PEMBAGIAN PADA SUKU BANYAK

Pembagian sukubanyak P(x) oleh (x – a) dapat ditulis dengan

P(x) = (x – a)H(x) + S

Keterangan:
P(x) sukubanyak yang dibagi,
(x – a) adalah pembagi,
H(x) adalah hasil pembagian,
dan S adalah sisa pembagian

TOREMA SISA

Jika sukubanyak P(x) dibagi (x – a), sisanya P(a) dibagi (x + a) sisanya P(-a)
dibagi (ax – b) sisanya P(b/a)

Contoh 1:
Tentukan sisanya jika 2x3 – x2 + 7x + 6 dibagi x + 1 atau dibagi x – (-1)

Jawab: sisanya adalah
P(-1) = 2.(-1)3 – (-1)2 + 7(-1) + 6
= - 2 – 1 – 7 + 6
= -4

Contoh 2:
Tentukan sisa dan hasil baginya jika x3 + 4x2 - 5x – 8 dibagi x - 2
Jawab:
Dengan teorema sisa, dengan mudah kita dapatkan sisanya,
yaitu P(2) = 8 + 16 - 10 - 8
= 6
tapi untuk menentukan hasil baginya kita gunakan: Pembagian Horner:
dengan menggunakan bagan seperti berikut:
x3 + 4x2 - 5x – 8 dibagi x - 2

2 1 4 -5 -8 koefisien
2 12 14 Polinum

1 6 7 6

Koefisien hasil bagi 1 6 7
Jadi hasil baginya: x2 + 6x + 7

Contoh 3:
Tentukan sisa dan hasil baginya jika 2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x - 1
Jawab:
(2x3 - 7x2 + 11x + 5) : (2x – 1)
Sisa:
P(½) = 2(½)3 – 7(½)2 + 11.½ + 5
= 2.⅛ - 7.¼ + 5½ + 5
= ¼ - 1¾ + 5½ + 5
= 9
2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1
Kita gunakan pembagian horner
2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1 →x = 1
2
2 -7 11 5
1
2 1 -3 4

2 -6 8 9

Koefisien hasil bagi 2 -6 8 9

Sehingga 2x3 - 7x2 + 11x + 5 dibagi 2x – 1
Dapat ditulis: 2x3 – 7x2 + 11x + 5 = (x - ½)(2x2 – 6x + 8) + 9
= (2x – 1)(x2 – 3x + 4) + 9
Pembagi : 2x - 1
Hasil bagi : x2 – 3x + 4
Sisa : 9

Contoh 4:
Nilai m supaya 4x4 – 12x3 + mx2 + 2 habis dibagi 2x – 1 adalah….
Jawab: habis dibagi → S = 0
P(½) = 0
4(½)4 – 12(½)3 + m(½)2 + 2 = 0
¼ - 1½ + ¼m + 2 = 0
¼m = -¼ + 1½ - 2 (dikali 4)
m = -1 + 6 – 8
m = -3
Jadi nilai m = -3

Pembagian Dengan (x –a)(x – b)
Bentuk pembagiannya dapat ditulis sebagai

P(x) = (x – a)(x – b)H(x) + S(x)

berarti: untuk x = a , P(a) = S(a) dan untuk x = b,P(b) = S(b)
Catatan: S(x) berderajat 1, misal px + q

Contoh5:
Suku banyak (x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6) dibagi (x2 – x – 2), sisanya sama dengan….
Jawab:
Bentuk pembagian ditulis: P(x) = (x2 – x – 2)H(x) + S(x)
Karena pembagi berderajat 2 maka sisa = S(x) berderajat 1
misal: sisanya px + q
sehingga bentuk pembagian ditulis:
Fx4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x2 – x – 2)H(x) + px + q
Fx4 – 3x3 – 5x2 + x – 6 = (x + 1)(x – 2)H(x) + px + q
P(x) dibagi (x + 1) bersisa P(-1)
P(x) dibagi (x – 2) bersisa P(2)
P(-1) = (-1)4 – 3(-1)3 – 5(-1)2 + (-1) – 6
= 1 + 3 – 5 – 1 – 6 = -8
P(2) = 24 – 3.23 – 5.22 + 2 – 6
= 16 – 24 – 20 + 2 – 6 = -32
P(x) = px + q
P(-1) = -p + q = -8
P(2) = 2p + q = -32 _
-3p = 24 ® p = -8
p = -8 disubstitusi ke
–p + q = -8
8 + q = -8 ® q = -16
Sisa: px + q = -8x + (-16) Jadi sisa pembagiannya: -8x -16

Contoh 6:
Suatu suku banyak bila dibagi oleh x + 2 bersisa -13, dibagi oleh x – 3 sisanya 7.
Suku banyak tersebut bila dibagi oleh x2 – x - 6 bersisa….
Jawab:
Misal sisanya: S(x) = ax + b,
P(x): (x + 2) Þ S(-2) = -13 ® -2a + b = -13
P(x): (x – 3) Þ S(3) = 7 ® 3a + b = 7 _
-5a = -20® a = 4
a = 4 disubstitusi ke -2a + b = -13
 -8 + b = -13
 b = -5
Jadi sisanya adalah: ax + b = 4x - 5

Contoh 7:
Jika suku banyak
P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + b dibagi oleh (x2 – 1) memberi sisa 6x + 5, maka a.b=….
Jawab :
P(x) = 2x4 + ax3 - 3x2 + 5x + b
P(x) : (x2 – 1) Þ sisa = 6x + 5
Pembagi : (x2 -1) = (x + 1)(x – 1)
Maka:
P(x):(x + 1) Þ sisa =P(-1)
P(-1) = 2(-1)4 + a(-1)3 – 3(-1)2 + 5(-1) + b = 6(-1) + 5
2 - a - 3 – 5 + b = – 6 + 5
-a + b - 6 = -1
-a + b = 5…………….(1)
P(x):(x – 1) Þ sisa =P(1)
P(1) = 2 (1)4 + a(1)3 – 3(1)2 + 5(1) + b = 6(1) + 5
2 + a - 3 + 5 + b = 6 + 5
a + b + 4 = 11
a + b = 7…………………...(2)
-a + b = 5.…(1)
a + b = 7….(2) +
2b = 12
® b = 6
b = 6 disubstitusi ke a + b = 7
a + 6 = 7
a = 1
Jadi a.b = 1.6 = 6

Contoh 8
Jika suku banyak x3 – x2 + px + 7 dan sukubanyak 2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1)
akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai p sama dengan….
Jawab:
x3 – x2 + px + 7 dibagi (x + 1)
Sisanya P(-1) = -1 -1 – p + 7
= 5 - p
2x3 + 3x2 - 4x – 1 dibagi (x + 1)
Sisanya P(-1) = -2 + 3 + 4 – 1
= 4
Karena sisanya sama,
Berarti 5 – p = 4
- p = 4 – 5
Jadi p = 1

Contoh 9
Jika suku banyak x3 – 7x + 6 dan sukubanyak x3 – x2 – 4x + 24 dibagi (x + a) akan diperoleh sisa yang sama, maka nilai a sama dengan….
Jawab:
x3 – 7x + 6 dibagi (x + a)
Sisanya P(-a) = a3 – 7a + 6
x3 – x2 – 4x + 24 dibagi (x + a)
Sisanya P(-a) = a3 – a2 – 4a + 24
Sisanya sama berarti:
a3 – 7a + 6 = a3 – a2 – 4a + 24
a2 – 7a + 4a + 6 – 24 = 0
a2 – 3a – 18 = 0
(a + 3)(a – 6) = 0
a = -3 atau a = 6
Jadi nilai a = - 3 atau a = 6

Contoh 10:
Jika suku banyak
P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3 dibagi oleh (x2 – 4) memberi sisa x + 23, maka a + b=….
Jawab :
P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3
P(x) : (x2 – 4) Þ sisa = x + 23
Pembagi : (x2 – 4) = (x + 2)(x – 2)
Maka:
P(x):(x + 2) Þ sisa = P(-2)
-16 + 4a + 2b + 3 = (-2) + 23
4a + 2b = 21 + 13
4a + 2b = 34….(1
P(x) = 2x3 + ax2 - bx + 3
P(x) : x2 - 4 Þ sisa = x + 23
Pembagi : x2 -1 = (x + 2)(x – 2)
Maka:
P(x):(x – 2) Þ sisa =P(2)
16 + 4a – 2b + 3 = 2 + 23
4a – 2b + 19 = 25
4a – 2b = 25 – 19
4a – 2b = 6….(2)

4a + 2b = 34.…(1)
4a – 2b = 6….(2) +
8a = 40
® a = 5
a = 5 disubstitusi ke 4a – 2b = 6
20 – 2b = 6
- 2b = -14 ® b = 7
Jadi a + b = 5 + 7 = 12

TEOREMA FAKTOR

Jika f(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika dan hanya jika
f(k) = 0
Artinya: Jika (x – k) merupakan faktor, maka nilai f(k) = 0 sebaliknya, jika f(k) = 0 maka (x – k) merupakan faktor

Contoh 1:
Tunjukan (x + 1) faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1

Jawab:
(x + 1) faktornya, berarti P(-1) = 0
P(-1) = (-1)3 + 4(-1)2 + 2(-1) – 1
= -1 + 4 – 2 – 1 = 0
Jadi, (x + 1) adalah faktornya.
Cara lain untuk menunjukan (x + 1) adalah faktor dari x3 + 4x2 + 2x – 1 adalah dengan
pembagian horner:
1 4 2 -1
-1 -1 -3 1 +

1 3 -1 0

Karena sisa pembagiannya 0 maka (x + 1) meripakan factor dari x3 + 4x2 + 2x – 1

Contoh 2:
Tentukan faktor-faktor dari P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6
Jawab:
Misalkan faktornya (x – k), maka nilai k yang mungkin adalah pembagi bulat dari 6, yaitu
pembagi bulat dari 6 ada 8 yaitu: ±1, ±2, ±3, dan ±6. Nilai-nilai k itu kita substitusikan
ke P(x), misalnya k = 1 diperoleh:
P(1) = 2.13 – 1.12 – 7.1 + 6
= 2 – 1 – 7 + 6
= 0
Oleh karena P(1) = 0, maka (x – 1) adalah salah satu factor dari P(x) = 2x3 – x2 -7x + 6
Untuk mencari faktor yang lain, kita tentukan hasil bagi P(x) oleh (x – 1) dengan
pembagian horner:
Koefisien sukubanyak P(x) = 2x3 – x2 – 7x + 6 adalah 2 -1 -7 6

2 -1 -7 6
1 2 1 -6
+
2 1 - 6 0

Hasil baginya: H(x) = 2x2 + x - 6
Karena hasil baginya adalah H(x) = 2x2 + x – 6 = (2x – 3)(x + 2) dengan demikian
2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x2 + x – 6)
2x3 – x – 7x + 6 = (x – 1)(2x – 3)(x + 2)
Jadi faktor-faktornya adalah (x – 1), (2x – 3 ) dan (x + 2)

Contoh 3:
Diketahui (x – 2) adalah factor P(x) = 2x3 + x2 - 7x - 6. Salah satu faktor yang lainnya
adalah…. a. x + 3
b. x – 3
c. x – 1
d. 2x – 3
e. 2x + 3
P(x) = 2x3 + x2 - 7x – 6 berarti koefisien P(x) adalah 2 1 -7 -6 k = 2

2 1 -7 -6
2 4 10 6 +

2 5 3 0

Hasil baginya: H(x) = 2x2 + 5x + 3
= (2x + 3)(x + 1)
Jadi faktor yang lain adalah 2x + 3

Contoh 4:
Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2 mempunyai faktor (x – 1). Jika dibagi oleh (x + 2) bersisa -36, maka nilai a + b adalah….
a. 5 b. 6 c. 7 d.8 e.9
Jawab:
Sukubanyak f(x) = x3 - ax2 + bx – 2
(x – 1) faktor f(x) → f(1) = 0
1 – a + b – 2 = 0
-a + b = 1….(1)
dibagi (x + 2) bersisa -36, f(-2) = -36
(-2)3 – a(-2)2 + b(-2) – 2 = -36
- 8 – 4a – 2b – 2 = -36
- 4a – 2b = -36 + 10
-4a – 2b = -26
2a + b = 13….(2)
Persamaan (1): -a + b = 1
Persamaan (2): 2a + b = 13 -
-3a = -12
a = 4
b = 1 + 4 = 5
Jadi nilai a + b = 4 + 5 = 9

Akar-akar Rasional Persamaan Sukubanyak

Salah satu penggunaan teorema faktor adalah mencari akar-akar sebuah persamaan sukubanyak, karena ada hubungan antara faktor dengan akar-akar persamaan sukubanyak
Jika P(x) adalah sukubanyak; (x – k) merupakan faktor dari P(x) jika dan hanya jika k akar dari persamaan P(k) = 0
k disebut akar atau nilai nol dari persamaan sukubanyak: P(x) = 0

Teorema Akar-akar Rasional
Jika P(x) = anxn + an-1xn-1 + …+ a1x + ao dan (x – k) merupakan faktor dari P(x) maka
K merupakan akar dari P(x).

Contoh 1:
Tunjukan -3 adalah salah satu akar dari x3 – 7x + 6. Kemudian tentukan akar-akar yang lain.
Jawab:
Untuk menunjukan -3 akar dari P(x), cukup kita tunjukan bahwa P(-3) = 0
P(x) = x3 – 7x + 6.
P(-3) = (-3)3 – 7(-3) + 6
= -27 + 21 + 6
= 0
Oleh karena P(-3) = 0, maka -3 adalah akar dari Persamaan P(x) = x3 – 7x + 6 = 0
Untuk menentukan akar-akar yang lain, kita tentukan terlebih dahulu hasil bagi
P(x) = x3 – 7x + 6 dengan x + 3 dengan pembagian Horner sebagai berikut
P(x) = x3 – 7x + 6
berarti koefisien P(x) adalah 1 0 -7 6 dengan k = -3

1 0 -7 6
-3 -3 9 -6
+
1 -3 2 0

Hasil baginya: H(x) = x2 – 3x + 2
= (x – 1)(x – 2)
sehingga persamaan sukubanyak tsb dapat ditulis menjadi (x + 3)(x – 1)(x – 2) = 0.
Jadi akar-akar yang lain adalah x = 1 dan x = 2

Contoh 2:
Banyaknya akar-akar rasional dari persamaan x4 – 3x2 + 2 = 0 adalah….
a. 4 b. 3 c. 2 d.1 e.o
Jawab:
Karena persamaan sukubanyak berderajat 4, maka akar-akar rasionalnya paling banyak ada 4 yaitu faktor-faktor bulat dari 2. Faktor-faktor bulat dari 2 adalah 1, -1, 2 dan -2
Dari 4 kemungkinan yang akan menjadi akar-akar rasional persamaan sukubanyak tsb,
kita coba nilai 1
Koefisien x4 – 3x2 + 2 = 0 adalah 1, 0, -3, 0, dan 2

1 0 -3 0 2
1 1 1 -2 -2
+
1 1 2 -2 0

Ternyata P(1) = 0, berarti 1 adalah akar rasionalnya,
Selanjutnya kita coba -1.
Koefisien hasil bagi: 1,1,-2, dan -2

1 1 -2 -2
-1 -1 0 2
+
1 0 -2 0

Ternyata P(-1) = 0, berarti -1 adalah akar rasionalnya, Sehingga:
(x – 1)(x + 1)(x2 – 2) = 0
(x2 – 2) difaktorkan lagi menjadi (x - √2)(x + √2) = 0
Berarti akar yang lain: √2 dan -√2, tapi bukan bilangan rasional.
Jadi akar-akar rasionalnya hanya ada 2 yaitu 1 dan -1.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Sukubanyak
Jika akar-akar Persamaan Sukubanyak: ax3 + bx2 + cx + d = 0 adalah x1, x2, dan x3 maka
x1 + x2 + x3 = -b
a
x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c
a
x1.x2.x3 = -d
a
Contoh 1:
Jumlah akar-akar persamaan x3 – 3x2 + 2 = 0 adalah….
Jawab:
a = 1, b = -3, c = 0, d = 2
x1 + x2 + x3 = -b/a = -3/1 = 3
Contoh 2:
Hasilkali akar-akar persamaan 2x3 – x2 + 5x – 8 = 0 adalah….
Jawab:
a = 2, b = -1, c = 5, d = -8
x1.x2.x3 = c/a = 5/2

Contoh 3:
Salah satu akar persamaan x3 + px2 – 3x – 10 = 0 adalah -2 Jumlah akar-akar persamaan
tersebut adalah….

Jawab:
-2 adalah akar persamaan x3 + px2 – 3x - 10 = 0 → -2 memenuhi persamaan tsb.
sehingga: (-2)3 + p(-2)2 – 3(-2) - 10 = 0
-8 + 4p + 6 – 10 = 0
-8 + 4p + 6 – 10 = 0
4p – 12 = 0 ® 4p = 12® p = 3
Persamaan tersebut: x3 + 3x2 – 3x – 10 = 0
Jumlah akar-akarnya: x1 + x2 + x3 = -b/a = -3

Contoh 4:
Akar-akar persamaan x3 – 4x2 + x – 4 = 0 adalah x1, x2, dan x3. Nilai x12 + x22 + x32 =….
x1 + x2 + x3 = 4
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 1
Jadi:
x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 + x3)2 - 2(x1x2 + x1x3 + x2x3)
= 42 – 2.1
= 16 – 2
= 14

III. Latihan
Jawablah pertanyaan di bawah dengan benar
1. Nilai sisa dari f(x)=x4+x3-2x2+x+2 jika dibagi x+2 adalah…
2. Hasil bagi dan sisa dari 2x2-5x2+2x-4 dibagi x+2 adalah….
3. Nilai sisa dari f(x)=3x3+x2+x+2 jika dibagi 3x-2 adalah…
4. Hasil bagi dari x5 - 32 adalah….
x-2
5. Diketahui suku banyak f(x)=5x3-4x2+3x-2 Nilai dari 5f(4)-4f(3) adalah….
6. Jika f(x) = 4x2-12x3+13x2-8x+a habis dibagi (2x-1), maka nilai a adalah….
7. Jika x3-4x2+px+6 dan x2+3x-2 dibagi (x+1) memberikan sisa yang sama, nilai p
adalah…
8. Suku banyak F(X) jika dibagi oleh (x-3) sisanya 8 dan jika dibagi oleh (x-2)
sisanya -7.Maka jika suku banyak itu dibagi oleh x2-x-6, sisanya adalah….

IV. Tes Formatif
( Terlampir)
V. Daftar pustaka
Tim penulis MGMP Matematika SMA kota Semarang, Matematika SMA / MA XI A IPA, ( Semarang : CV. Jabbaar Setia, 2008)
Tim penyusun KREATIF Matematika, Matematika SMA/MA kelas XI IPA semester gasal, ( Klaten, Viva Pakarindo, 2007)
Simangunsong Wilson, Matematika dasar, ( Jakarta: Erlangga, 2005)






Jawablah pertanyaan di bawah dengan benar
1. Hasil bagi dan sisa dari
2x2-5x2+2x-4 dibagi x+2
Adalah….
a. 2x2-9x+20 sisa -44
b. 2x2-9x+20 sisa -24
c. 2x2-9x+20 sisa -14
d. 2x2-9x+20 sisa -14
e. 2x2-9x+20 sisa -14
Pembahasan:
Maka:
-2 2 -5 2 -4
-4 18 -40 +
2 -9 20 -44
Jadi hasil baginya 2x2-9x+20
Sisa -44
Kunci a
2. Nilai sisa dari
f(x)=x4+x3-2x2+x+2
jika dibagi x+2 adalah…

a. -6 d. 0
b. -4 e. 2
c. -2
Pembahasan:
Ambil koefisiennya
Maka:
-2 1 1 -2 1 2
-2 2 0 -2 +
1 -1 0 1 0
Jadi hasil baginya x3 - x2 + 1
Sisa “0”
Kunci d


6. Nilai sisa dari
f(x)=x4+x3-2x2+x+2
jika dibagi x+2 adalah…

a. -6 d. 0
b. -4 e. 2
c. -2

7. Nilai sisa dari
f(x)=3x3+x2+x+2
jika dibagi 3x-2 adalah…

a. -1 d. 3
b. 1 e. 4
c. 2

Pembahasan:

f(x)=3x3+x2+x+2
Maka:
3 1 1 2
2 2 2 +
3 3 3 4
Sisa 4
Kunci e


7. Nilai sisa dari
f(x)=3x3+x2+x+2
jika dibagi 3x-2 adalah…

a. -1 d. 3
b. 1 e. 4
c. 2

8. Hasil bagi dari adalah….


Pembahasan:


Maka:
2 1 0 0 0 0 -32
2 4 8 16 32 +
1 2 4 8 16 0
Jadi hasil baginya
x4+2x3+4x2+8x+16
Kunci e


8. Hasil bagi dari adalah….


9. Diketahui suku banyak
f(x)=5x3-4x2+3x-2 Nilai dari
5f(4)-4f(3) adalah….
a. 900
b. 902
c. 904
d. 906
e. 908

Pembahasan:
f(x)=5x3-4x2+3x-2, untuk x=4 f(4)
maka: 4 5 -4 3 -2
20 64 268 +
5 16 67 266
Jadi f(4) = 226
Untuk x=3 f(3)
3 5 -4 3 -2
15 33 108 +
5 11 36 106
Jadi f(3) = 106
Maka nilai 5f(4) – 4f(3) adalah…
= 5(266) – 4(106)
= 1330 – 424
= 906
Kunci d

9. Diketahui suku banyak
f(x)=5x3-4x2+3x-2 Nilai dari
5f(4)-4f(3) adalah….
a. 900
b. 902
c. 904
d. 906
e. 908

10. Jika f(x) = 4x2-12x3+13x2-8x+a
habis dibagi (2x-1), maka nilai a
adalah….

a. 10
b. 8
c. 6
d. 4
e. 2

Pembahasan:
f(x) = 4x2-12x3+13x2-8x+a
f(x) habis dibagi (2x-1) untuk x =

4 -12 13 -8 a
2 -5 4 -2 +
4 -10 8 -4 a-2

f( ) = a-2 = 0
a = 2
Kunci e

10. Jika f(x) = 4x2-12x3+13x2-8x+a
habis dibagi (2x-1), maka nilai a
adalah….

a. 10
b. 8
c. 6
d. 4
e. 2

11. Jika x3-4x2+px+6 dan
x2+3x-2 dibagi (x+1) memberikan
sisa yang sama, nilai p adalah…
a. -5 d. 3
b. -3 e. 5
c. 1


Pembahasan:
x3-4x2+px+6 dibagi (x+1)
Maka
f(-1)=(-1)3-4(-1)2+p(-1)+6
f(-1)=-1-4-p+6
f(-1)=1-p


G(x)=x2+3x-2 dibagi (x+1)
Maka
G(-1)=(-1)2+3(-1)-2
G(-1)=1-3-2
G(-1)=-4

F(-1)=G(-1)
1-p = -4-1
-p = -5
p = 5

Kunci e

11. Jika x3-4x2+px+6 dan
x2+3x-2 dibagi (x+1) memberikan
sisa yang sama, nilai p adalah…
a. -5 d. 3
b. -3 e. 5
c. 1


12. Suku banyak F(X) jika dibagi oleh
(x-3) sisanya 8 dan jika dibagi oleh
(x-2) sisanya -7. Maka jika suku
banyak itu dibagi oleh x2-x-6,
sisanya adalah….
a. 3x+1
b. 3x-1
c. x-3
d. x+3
e. 1-3x


Pembahasan:
F(x) = (x2-x-6)H(x)+3
F(x) = (x-3)(x+2)H(x)ax+b
F(3) = 0.H(x)+3a+b=8
F(-2) = 0.H(x)+(-2a)+b=-7
Jadi
3a+b=8
-2a+b=-7 -
5a = 15
a = 3

3a +b=8
3(3)+b=8
b=8-9
b=-1
Jadi f(x) dibagi x2-x-6 tersisa….
ax+b = 3x-1
Kunci b

12. Suku banyak F(X) jika dibagi oleh
(x-3) sisanya 8 dan jika dibagi oleh
(x-2) sisanya -7. Maka jika suku
banyak itu dibagi oleh x2-x-6,
sisanya adalah….
a. 3x+1
b. 3x-1
c. x-3
d. x+3
e. 1-3x

Statistik

Defenisi :
Salah satu definisi menyebutkan bahwa statistik adalah metode ilmiah untuk menyusun, meringkas, menyajikan dan menganalisa data, sehingga dapat ditarik suatu kesimpulan yang benar dan dapat dibuat keputusan yang masuk akal berdasarkan data tersebut.

Jika suatu kesimpulan data sudah dihimpun, pada statistika deskriptif kita hendak menyimpulkan data itu dalam beberapa hal. Pertama kita hendak membuat tabel, misalnya tabel frekuensi, tabel frekuensi kumulatif dan lain-lain yang mengatur data kasar itu. Juga kita akan melihat diagram atau grafik yang dapat memberi gambaran mengenai keseluruhan data itu, misalnya diagram lambang (piktogram), diagram batang, diagram lingkaran, histogram, ogive dan lain-lain. Kemudian kita hendak menghitung karakteristik data yang dapat mencakup semua data itu, misalnya rata-rata, median, modus dan lain-lain. 


Histogram dan Poligon :

HISTOGRAM dan POLIGON FREKUENSI adalah dua grafik yang menggambarkan distribusi frekuensi.

HISTOGRAM terdiri dari persegi panjang yang alasnya merupakan panjang kelas interval, sedangkan tingginya sama dengan frekuensi masing-masing kelas interval.

POLIGON FREKUENSI adalah suatu garis putus putus yang menghubungkan titik tengah ujung batang histogram. Biasanya ditambah dua segmen garis lain yang menghubungkan titik tengah ujung batang pertama dan terakhir dengan titik tengah kelas yang paling ujung dimana frekuensinya bernilai nol. 

Ukuran Pemusatan Data :
Untuk sekelompok data yang diperoleh, yaitu x1, x2, x3, . . . . . . , x maka dapat ditentukan:

1. RATA-RATA (MEAN) (notasi: x dibaca : x bar)
_
x = (x1+x2+.....+xn)/n = å xi / n = å (fi.xi) / n dimana åfi = n

~
2. MEDIAN (notasi: x )
Adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan menurut besarnya.

Dengan ketentuan:
Jika banyak data ganjil, maka median adalah nilai tengah dari data yang telah diurutkan.

(Data ke (n+1)/2 )

^
3. MODUS (notasi : x)
Adalah nilai data yang sering muncul (mempunyai frekuensi terbesar). Modus dapat ada ataupun tidak ada. Kalaupun ada dapat lebih dari satu.

Contoh:

Diketahui data
7, 9, 8, 13, 12, 9, 6, 5 n = 8

1. Rata-rata
_
x = (5+6+7+8+9+9+12+13)/8 = 8,625


2. Median
Data diurutkan terlebih dahulu menjadi
5 6 7 8 9 9 12 13
~
x = (8+9)/2 = 8,5


3. Modus
^
x = 9

Biologi

Sistem Ekskresi Pada Manusia

Sistem ekskresi pada manusia melibatkan alat-alat ekskresi yaitu ginjal, kulit, paru-paru, dan hati. Zat-zat sisa yang dikeluarkan dari alat-alat tersebut
berasal dari proses metabolisme. Ginjal mengeluarkan urine, kulit mengeluarkan keringat, paru-paru mengeluarkan karbondioksida, dan hati mengeluarkan zat warna empedu.

A.  Ginjal
Ginjal manusia bentuknya seperti biji kacang merah. Terletak di dalam rongga perut bagian belakang, di sebelah kanan kiri tulang pinggang,
sehingga sering disebut buah pinggang. Ginjal sebelah kanan sedikit lebih rendah karena terdesak oleh hati. Setiap ginjal panjangnya 6 – 7½ sentimeter
dan tebal 1½ – 2½ sentimeter. Pada orang dewasa beratnya kira-kira 140 gram.
Apabila sebuah ginjal dipotong secara melintang maka akan tampak tiga lapisan. Bagian luar disebut korteks atau kulit ginjal, di bawahnya ada medula atau sumsum ginjal dan di bagian dalam berupa rongga yang disebut pelvis
renalis atau rongga ginjal.
Pada bagian korteks atau kulit ginjal terdapat glomerulus dan simpai Bowman. Glomerulus dan simpai Bowman membentuk kesatuan yang disebut Badan Malpighi. Pada bagian inilah proses penyaringan darah dimulai. Badan malpighi merupakan awal dari nefron. Nefron adalah satuan struktural dan fungsional ginjal. Tiap ginjal tersusun oleh kira-kira 1 juta nefron. Dari badan Malpighi terbentuk saluran yang menuju bagian medula (sumsum ginjal).

Fungsi ginjal adalah menyaring darah sehingga dihasilkan urine, melalui tiga tahapan. Tiga tahap pembentukan urine tersebut adalah:
1.  Filtrasi(Penyaringan)
Proses ini terjadi di glomerulus. Cairan yang tersaring ditampung oleh simpai Bowman. Cairan tersebut tersusun oleh urea, glukosa, air, ion-ion anorganik seperti natrium kalium, kalsium, dan klor. Darah dan protein tetap tinggal di dalam kapiler darah karena tidak dapat menembus pori–pori
glomerulus.Cairan yang tertampung di simpai Bowman disebut urine primer. Selama 24 jam darah yang tersaring dapat mencapai 170 liter.

2.  Reabsorbsi (Penyerapan Kembali)
Proses ini terjadi di tubulus kontortus proksimal. Proses yang terjadi adalah penyerapan kembali zat-zat yang masih dapat diperlukan oleh tubuh. Zat yang diserap kembali adalah glukosa, air, asam amino dan ion-ion anorganik. Sedangkan urea hanya sedikit diserap kembali. Cairan yang dihasilkan dari proses
reabsorbsi disebut urine sekunder.

3.  Augmentasi (Pengumpulan)
Proses ini terjadi di tubulus kontortus distal dan juga di saluran pengumpul. Pada bagian ini terjadi pengumpulan cairan dari proses sebelumnya. Di bagian ini juga masih terjadi penyerapan ion natrium, klor serta urea. Cairan yang dihasilkan sudah berupa urine sesungguhnya, yang kemudian disalurkan ke
rongga ginjal. Urine yang sudah terbentuk dan terkumpul di rongga ginjal dibuang keluar tubuh melalui ureter, kandung kemih dan uretra. Proses pengeluaran urine disebabkan oleh adanya tekanan di dalam kandung kemih. Tekanan pada kandung kemih selain disebabkan oleh pengaruh saraf juga adanya kontraksi otot perut dan organ-organ yang menekan kandung kemih.
B.  Kulit
Kulit merupakan jaringan yang terdapat pada bagian luar tubuh. Kulit memiliki banyak fungsi karena
di dalamnya terdapat berbagai jaringan. Kulit terdiri atas tiga lapisan yaitu epidermis, dermis dan jaringan ikat bawah kulit.
1. Epidermis (Kulit Ari)
Epidermis tersusun oleh sejumlah lapisan sel yang pada dasarnya terdiri atas dua lapisan yaitu:

a.  Lapisan tanduk

Merupakan lapisan epidermis paling luar. Pada lapisan ini tidak terdapat pembuluh darah dan serabut saraf, karena merupakan sel-sel mati dan selalu mengelupas. Lapisan ini jelas sekali terlihat pada telapak tangan dan telapak kaki.

b.  Lapisan malpighi

Lapisan ini terdapat di bawah lapisan tanduk. Sel-selnya terdapat pigmen yang menentukan warna kulit.

2. Dermis (Kulit Jangat)
Merupakan lapisan kulit di bawah epidermis, di dalam lapisan ini terdapat beberapa jaringan yaitu:

a. Kelenjar keringat, yang berfungsi untuk menghasilkan keringat. Keringat tersebut bermuara pada pori-pori kulit.
b. Kelenjar minyak, yang berfungsi untuk menghasilkan minyak guna menjaga rambut tidak kering. Kelenjar ini letaknya dekat akar rambut.
c. Pembuluh darah, yang berfungsi untuk mengedarkan darah ke semua sel atau jaringan termasuk akar rambut.
d. Ujung-ujung saraf. Ujung saraf yang terdapat pada lapisan ini adalah ujung saraf perasa dan peraba.

3. Jaringan Ikat Bawah Kulit
Di bagian ini terdapat jaringan lemak (adiposa). Fungsinya antara lain untuk penahan suhu tubuh dan cadangan makanan. penahan suhu tubuh dan cadangan makanan. Dengan adanya berbagai jaringan yang terdapat di dalamnya, maka kulit dapat berfungsi sebagai:

1. indra peraba dan perasa.
2. pelindung tubuh terhadap luka dan kuman.
3. tempat pembentukan vitamin D dari provitamin D dengan bantuan sinar ultraviolet cahaya matahari,
4. penyimpan kelebihan lemak.
5. pengatur suhu tubuh.

Dari berbagai fungsi tersebut yang berkaitan dengan sistem ekskresi adalah kemampuan kulit sebagai pengatur suhu tubuh. Suhu tubuh diatur oleh pusat pengatur panas di sumsum lanjutan agar o o – 37,5 C. Bila suhu badan meningkat, konstan 36 maka kapiler darah melebar, kulit menjadi panas dan kelebihan panas dipancarkan ke kelenjar keringat. Sehingga terjadi penguapan cairan dalam bentuk keringat pada permukaan tubuh. Sebaliknya bila tubuh merasa kedinginan, pembuluh darah mengkerut, kulit menjadi pucat dan dingin, keringat dibatasi pengeluarannya. Keringat yang dikeluarkan oleh kelenjar keringat berisi larutan garam, urea dan air. Banyaknya keringat yang dikeluarkan tergantung dari beberapa faktor antara lain aktivitas tubuh, suhu lingkungan, makanan, kesehatan dan emosi.
C. Paru-Paru
Pembahasan tentang organ paru-paru sudah banyak dibahas pada pokok bahasan sistem pernapasan. Selain berfungsi sebagai alat pernapasan, paru-paru juga berfungsi sebagai alat ekskresi. Zat sisa yang dikeluarkan oleh paru-paru adalah karbondioksida dan uap air.
D. Hati
Organ hati sudah kita singgung pada pokok bahasan sistem pencernaan. Kalian tentu masih ingat beberapa fungsi hati bukan?Dari beberapa fungsi hati, yang terkait dengan fungsi ekskresi adalah:
1. Menghasilkan Getah Empedu
Getah empedu dihasilkan dari hasil perombakan sel darah merah. Getah empedu pada dasarnya terdiri atas dua komponen yaitu garam empedu dan zat warna empedu. Garam empedu berfungsi dalam proses pencernaan makanan yaitu untuk mengemulsi lemak. Sedangkan zat warna empedu tidak berfungsi sehingga harus diekskresikan. Zat warna empedu yang diekskresikan ke usus 12 jari, sebagian menjadi sterkobilin, yaitu zat yang mewarnai feses dan beberapa diserap kembali oleh darah dibuang melalui ginjal sehingga membuat warna pada urine yang disebut urobilin. Kedua zat ini mengakibatkan warna feses dan urine kuning kecoklatan.
2. Menghasilkan Urea
Urea adalah salah satu zat hasil perombakan protein. Karena zat ini beracun bagi tubuh maka harus dibuang keluar tubuh. Dari hati urea diangkut ke ginjal untuk dikeluarkan bersama urine.
E. Kelainan pada Sistem Eksresi
1. Gagal Ginjal
Gagal ginjal adalah kelainan ginjal yang tidak berfungsi sebagaimana mestinya (sebagai alat penyaring darah). Ada dua macam gagal ginjal yaitu
gagal ginjal yang bersifat sementara dan gagal ginjal tetap.
Penderita gagal ginjal sementara dapat ditolong dengan cuci darah secara berkala. Dengan menggunakan alat yang disebut dialisator darah dari penderita dikeluarkan dari arteri (tabung atas), melewati perangkap gelembung, dan masuk ke dalam ginjal tiruan. Darah yang sudah dimurnikan keluar dari ginjal

2. Batu Ginjal
Batu ginjal terbentuk karena adanya endapan garam kalsium yang makin lama makin mengeras dan membesar. Endapan ini pada mulanya terdapatdi rongga ginjal, kemudian terbawa arus urine, juga terdapat di ureter dan kantong kemih. Batu ginjal dapat dihilangkan dengan beberapa cara antara lain dengan pengobatan, yaitu mengkonsumsi obat yang dapat menghancurkan batu ginjal. Namun bila dengan pengobatan sulit hancur dapat dilakukan dengan pembedahan untuk mengambil batu ginjal tersebut.

3. Diabetes Insipidus
Diabetes insipidus adalah suatu penyakit yang penderitanya mengeluarkan urine terlalu banyak. Penyebab penyakit ini adalah kekurangan hormon ADH (Anti Diuretic Hormone), yaitu hormon yang mempengaruhi proses reabsorbsi cairan pada ginjal. Bila kekurangan hormon ADH, jumlah urine dapat meningkat sampai 30 kali lipat.
4. Nefritis
Nefritis adalah peradangan pada nefron terutama glomerulus. Penyebabnya adalah infeksi bakteri Streptococcus.

Sistem Imun

sistem imun adalah sistem perlindungan pengaruh luar biologis yang dilakukan oleh sel dan organ khusus pada suatu organisme.

ika sistem kekebalan bekerja dengan benar, sistem ini akan melindungi tubuh terhadap infeksi bakteri dan virus, serta menghancurkan sel kanker dan zat asing lain dalam tubuh. Jika sistem kekebalan melemah, kemampuannya melindungi tubuh juga berkurang, sehingga menyebabkan patogen, termasuk virus yang menyebabkan demam dan flu, dapat berkembang dalam tubuh. Sistem kekebalan juga memberikan pengawasan terhadap sel tumor, dan terhambatnya sistem ini juga telah dilaporkan meningkatkan resiko terkena beberapa jenis kanker.



fungsi sistem imun :
1. Melindungi tubuh dari invasi penyebab penyakit; menghancurkan & menghilangkan mikroorganisme atau substansi asing (bakteri, parasit, jamur, dan virus, serta tumor) yang masuk ke dalam tubuh
2. Menghilangkan jaringan atau sel yg mati atau rusak untuk perbaikan jaringan.
3. Mengenali dan menghilangkan sel yang abnormal
Sasaran utama: bakteri patogen & virus
Leukosit merupakan sel imun utama (disamping sel plasma, makrofag, & sel mast)
Respons Imun
Tahap:
1. Deteksi & mengenali benda asing
2. Komunikasi dgn sel lain untuk berespons
3. Rekruitmen bantuan & koordinasi respons
4. Destruksi atau supresi penginvasi
Pertahanan tubuh ada 2 yaitu :
1. Non spesifik ,natural atau sudah ada dalam tubuh (pembawaan )
merupakan pertahanan tubuh terdepan dalam melawan mikroorganisme disebut nonspesifik karena tidak ditujukan terhadap mikroorganisme tertentu meliputi :
a. pertahanan fisik ; kulit, selaput lendir , silia saluran pernafasan
b. pertahanan kimia ; bahan yang disekresi mukosa saluran nafas, kelenjar sebaseus kulit, kel kulit, telinga, asam HCL dalam cairan lambung , lisosim yang dikeluarkan oleh makrofag menghancurkan kuman gram – dengan bantuan komplemen, keringat, ludah , air mata dan air susu
( melawan kuman gram + )
c. pertahanan humoral
- komplemen mengaktifkan fagosit dan membantu destruktif bakteri dan parasit ( menghancurkan sel membran bakteri, faktor kemotaktik yang mengarahkan makrofag ke tempat bakteri, diikat pada permukaan bakteri yg memudahkan makrofag untuk mengenal dan memakannya

- interferon --- suatu glikoprotein yg dihasilkan sel manusia yg mengandung nukleus dan dilepaskan sebagai respons terhadap infeksi virus.

2. adaptasi atau yang muncul ( diperoleh) atau spesifik
mempunyai kemampuan untuk mengenal benda asing.
sistem imun spesifik dapat bekerja sendiri untuk menghancurkan benda asing yang berbahaya, tetapi umumnya terjalin kerjasama yang baik antara antibodi, komplemen , fagosit dan antara sel T makrofag.
sistem imun spesifik ada 2 yaitu;
a. sistem imun spesifik humoral
b. sistem imun spesifik selular

Sistem Sirkulasi Manusia

Pendahuluan

Di dalam tubuh manusia, darah mengalir keseluruh bagian (organ-organ) tubuh secara terus-menerus untuk menjamin suplai oksigen dan zat-zat nutrien lainnya agar organ-organ tubuh tetap dapat berfungsi dengan baik. Aliran darah keseluruh tubuh dapat berjalan berkat adanya pemompa utama yaitu jantung dan sistem pembuluh darah sebagai alat pengalir/distribusi.

Pembagian sistem sirkulasi

Secara umum sistem sirkulasi darah dalam tubuh manusia dapat dibagi menjadi 2 bagian:

1. Sistem sirkulasi umum (sistemik): sirkulasi darah yang mengalir dari jantung kiri keseluruh tubuh dan kembali ke jantung kanan.

2. Sistem sirkulasi paru-paru (pulmoner): sirkulasi darah yang mengalir dari jantung kanan ke paru-paru lalu kembali ke jantung kiri.

Bagan Sistem Sirkulasi Darah Manusia
Sumber: www.bcb.uwc.ac.za

Aliran Darah Dalam Sistem Sirkulasi di Tubuh Manusia
Pada orang dewasa, jumlah volume darah yang mengalir di dalam sistem sirkulasi mencapai 5-6 liter (4,7 - 5,7 liter). Darah terus berputar mengalir di dalam sistem sirkulasi sistemik dan paru-paru tanpa henti. Untuk menjelaskan alur aliran darah, kita dapat memulai dari sistem sirkulasi sistemik kemudian sistem sirkulasi pulmoner.

a. Sistem sirkulasi sistemik
Sistem sirkulasi sistemik dimulai ketika darah bersih (darah yang mengandung banyak oksigen yang berasal dari paru) dipompa keluar oleh jantung melalui bilik (ventrikel) kiri ke pembuluh darah Aorta lalu keseluruh bagian tubuh melalui arteri-arteri hingga mencapai pembuluh darah yang diameternya paling kecil yang dinamakan kapilaria.

Kapilaria melakukan gerakan kontraksi dan relaksasi secara bergantian yang disebut dengan vasomotionsehingga darah didalamnya mengalir secara terputur-putus (intermittent). Vasomotion terjadi secara periodik dengan interval 15 detik- 3 menit sekali. Darah mengalir secara sangat lambat di dalam kapilaria dengan kecepatan rata-rata 0,7 mm/detik. Dengan aliran yang lambat ini memungkinkan terjadinya pertukaran zat melalui dinding kapilaria. Pertukaran zat ini terjadi melalui proses difusi, pinositosis dan transpor vesikuler, serta filtrasi dan reabsorpsi. Ujung kapilaria yang membawa darah bersih dinamakan arteriole sedangkan ujung kapilaria yang membawa darah kotor dinamakan venule, terdapat hubungan antara arteriole dengan venule melalui 'capillary bed' yang berbentuk seperti anyaman, ada juga hubungan langsung (bypass) dari arteriole ke venule melalui 'Arteria-Vena Anastomose (A-V Anastomosis).' (lihat gambar 2 di bawah). Darah dari arteriole mengalir kedalam venule kemudian melalui pembuluh darah balik (vena terbesar yang menuju jantung kanan yaitu Vena Cava Inferior dan Vena Cava Superior) kembali ke jantung kanan (serambi/atrium kanan). Darah dari atrium kanan memasuki ventrikel kanan melalui Katup Trikuspid (katup berdaun 3).

b. Sistem sirkulasi paru (pulmoner)
Sistem sirkulasi paru dimulai ketika darah kotor (darah yang tidak mengandung Oksigen (O2) tetapi mengandung banyak CO2, yang berasal dari Vena Cava Inferior dan Vena Cava Superior) mengalir meninggalkan jantung kanan (Ventrikel/bilik kanan) melalui Arteri Pulmonalis menuju paru-paru (paru kanan dan kiri). Kecepatan aliran darah di dalam Arteri Pulmonalis sebesar 18 cm/detik, kecepatan ini lebih lambat daripada aliran darah di dalam Aorta. Di dalam paru kiri dan kanan, darah mengalir ke kapilaria paru-paru dimana terjadi pertukaran zat dan cairan melalui proses filtrasi dan reabsorbsi serta difusi. Di kapilaria paru-paru terjadi pertukaran gas O2 dan CO2 sehingga menghasilkan darah bersih (darah yang mengandung banyak Oksigen). Darah bersih selanjutnya keluar paru melalui Vena Pulmonalis (Vena Pulmonalis kanan dan kiri) memasuki jantung kiri (atrium/serambi kiri). Kecepatan aliran darah di dalam kapilaria paru-paru sangat lambat, setelah mencapai Vena Pulmonalis, kecepatan aliran darah bertambah kembali. Seperti halnya Aorta, Arteri Pulmonalis hingga kapilaria juga mengalami pulsasi (berdenyut).

Selanjutnya darah mengalir dari dari atrium kiri melalui katup Mitral (katup berdaun 2) memasuki Ventrikel kiri lalu keluar jantung melalui Aorta, maka dimulailah sistem sirkulasi sistemik (umum), dan seterusnya secara berkesinambungan.

                                          
Gambar 1. Penampang jantung manusia.                                                                  Gambar 2. Hubungan arteriole dengan venule.

Jadi secara ringkas aliran darah dalam sistem sirkulasi darah manusia sebagai berikut:

• Sistem Sirkulasi Sistemik: jantung (bilik / ventrikel kiri) --> Aorta --> Arteri --> Arteriole --> Capillary bed atau A-V Anastomose --> venule --> vena --> Vena Cava (Vena Cava Inferior dan Vena Cava Superior) --> Jantung (atrium/serambi kanan).
• Sistem Sirkulasi Paru-paru: Jantung (bilik/ventrikel kanan) --> Arteri Pulmonalis --> Paru --> Kapilaria paru --> Vena Pulmonalis --> jantung (atrium/serambi kiri).

Sifat pembuluh darah

Pembuluh darah dapat kita ibaratkan sebagai selang yang bersifat elastis, yaitu diameternya dapat membesar atau mengecil. Sifat elastis ini sangat bermanfaat untuk mempertahankan tekanan darah yang stabil. Pada keadaan normal, apabila tekanan di dalam pembuluh darah meningkat, maka diamater pembuluh darah akan melebar sebagai bentuk adaptasi untuk menurunkan tekanan yang berlebih agar menjadi normal. Sebaliknya diameter pembuluh darah akan mengecil bila tekanan darah turun. Bila pembuluh darah mengalami kekakuan maka ia menjadi kurang fleksibel sehingga tidak dapat melakukan antisipasi terhadap kenaikan/penurunan tekanan darah.

Elastisitas pembuluh darah tidak tetap, pembuluh darah akan menjadi kaku seiring bertambahnya usia (misal oleh karena terjadi pengapuran pada dindingnya) oleh karena itu tekanan darah pada orang lanjut usia cenderung sedikit lebih tinggi dari pada orang muda,. Penyebab lain dari kekakuan pembuluh darah adalah karena adanya tumpukan kolesterol pada dinding sebelah dalam pembuluh darah, kolesterol juga menyebabkan penyempitan pembuluh darah. Pembuluh darah yang kaku akan menyebabkan hipertensi (penyakit darah tinggi), walau sebenarnya  tidak semua penyakit darah tinggi disebabkan karena kekakuan pembuluh darah. Apabila pembuluh darah menjadi kaku dan disertai penyempitan pada sebagian besar pembuluh darah dalam tubuh seseorang, maka tekanan darahnya dapat menjadi sangat tinggi (hipertensi berat).

Untuk menjaga agar elastisitas pembuluh darah tetap baik sehingga kita tidak mudah terkena penyakit tekanan darah tinggi, salah satu cara terbaik adalah dengan melakukan olahraga (exercise) secara teratur. Dengan melakukan olahraga secara teratur, akan melatih jantung dan pembuluh darah tetap terjaga kelenturannya.

Sifat darah

Darah merupakan cairan yang terdiri dari plasma (cairan bening) dan sel-sel darah (yang terdiri dari sel darah merah, sel darah putih dan sel pembeku darah). Adanya sel-sel darah menyebabkan adanya semacam pergeseran intern (internal friction) diantara lapisan yang berdampingan sehingga menyebabkan adanya sifat viskositas darah.

Viskositas darah normal = 3-4 kali viskositas air.

Viskositas plasma darah = 1,5-2 kali viskositas air.

Faktor-faktor yang mempengaruhi viskositas darah

Viskositas darah memegang peranan penting dalam aliran darah. Faktor-faktor yang mempengaruhi viskositas darah antara lain:

a) Volume hematokrit  (volume sel darah merah): volume hematokrit yang meningkat akan diikuti viskositas darah yang meningkat.

b) Kadar protein plasma: bila kadarnya naik maka viskositas naik dan sebaliknya.

c) Suhu tubuh: bila suhu tubuh naik, viskositas turun.

d) Kecepatan aliran darah: bila kecepatan aliran darah turun maka viskositas naik.

e) Diameter pembuluh darah: bila diameter pembuluh darah kurang dari 1,5 mm, maka viskositas darah turun. Hal ini dikenal sebagai Fahreus-Lindquist effect. Di dalam pembuluh darah kecil dimana darah mengalir lambat, maka d) dan e) bekerja saling berlawanan.

Aliran darah

Agar darah dapat mengalir dan mencapai seluruh bagian tubuh, maka diperlukan adanya tekanan darah minimum yang disebut juga critical clossing pressureyield pressure. Tekanan minimal ini diperlukan untuk membuka rongga pembuluh darah kecil (kapiler) yaitu sebesar 20 mm Air Raksa.(Hg). Kecepatan aliran darah yang tercepat pada Aorta (pembuluh darah tempat keluarnya darah dari jantung), makin jauh makin rendah kecepatannya. Jumlah total darah yang dipompa keluar jantung kira-kira 5,5 liter darah per menit.

Penggolongan pembuluh darah

Berdasarkan ukuran dan fungsinya, pembuluh darah dapat digolongkan sebagai berikut:

• Windkessel vessels (compression chamber): pembuluh darah yang sangat besar, misal: aorta dan arteri besar lainnya. Pembuluh ini sangat elastis dan menyimpan energi potensial yang dirubah menjadi energi kenetik.
• Resistance vessels: diameter agak kecil, memiliki sistem pengaturan yang sangat efisien dan diatur pula oleh sistem syaraf otonom.
• Exchange vessels: pembuluh darah kapiler (kapilaria). Pembuluh terkecil, dindingnya terdiri dari 1 lapisan sel. Disini terjadi pertukaran air dan zat-zat di dalamnya antara darah dengan cairan tubuh lainnya (cairan interstitiil).
• Capacity vessels: pembuluh-pembuluh darah balik (vena dan venuli), dapat menampung darah dalam jumlah banyak.
• Shunt vessels: aliran darah yang tidak melalui pembuluh kapiler akan melewati shunt ini, tidak turut dalam pertukaran cairan dan zat-zat.,  diatur  oleh sistem syaraf otonom dan hanya terdapat di beberapa tempat, misal: kulit. Gunanya agar darah lebih mudah mengeluarkan panas keluar tubuh/permukaan.

Tekanan darah

Jantung memompa darah secara terputus-putus (intermittent) kedalam pembuluh darah terbesar (aorta), selanjutnya kedalam arteri, dst sehingga tekanan darah di dalamnya berganti-ganti naik turun. Aorta dan arteri merupakan pembuluh darah yang elastis sehingga tekanan yang mendadak naik dapat turun secara berangsur-angsur dan disebarkan keseluruh tubuh. Oleh karena itu aorta dan arteri besar dinamakanWindkessel vessels (compression chamber). Jenis tekanan darah dapat dibedakan sbb:

• Tekanan sistole: tekanan darah tertinggi selama 1 siklus jantung, merupakan tekanan yang dialami  pembuluh darah saat jantung berdenyut/memompakan darah keluar jantung. Pada orang dewasa normal tekanan sistole berkisar 120 mm Hg
• Tekanan diastole: tekanan darah terendah selama 1 siklus jantung, suatu tekanan di dalam pembuluh darah saat jantung beristirahat. Pada orang dewasa tekanan diastole berkisar 80 mm Hg
• Tekanan nadi: selisih antara tekanan sistole dan diastole.

Pengukuran tekanan darah

Tekanan darah dapat diukur dengan 2 cara:

• Pengukuran secara langsung (direct): dengan memasukkan sebuah kanula kedalam arteri dan menghubungkannya dengan manometer Air Raksa.
• Pengukuran secara tidak langsung (indirect): mengukur tekanan darah secara auskultasi memakai stetoskop, manset tekanan, pompa karet, dan manometer air raksa.