Yulhie's Blog: OSN Matematika

Jumat, 04 Mei 2012

Barisan dan Deret Aritmetika

Barisan Aritmatika

Suatu barisan bilangan $U_1 , U_2 , U_3 , . . . , U_{n-1}, U_n$ disebut barisan aritmatika jika selisih dua suku yang berurutan selalu tetap. Selisih dua suku yang berurutan disebut dengan beda, atau dinotasikan dengan $b$ . Sedangkan suku pertama $U_1 = a$ . Bentuk umum barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

$a , (a + b) , (a + 2b) , (a + 3b) , (a + 4b) , . . . . , (a + nb)$

dengan:
$\begin{array} {rcl} a &=& U_1 \\ b &=& U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = U_n - U_{n-1} \end{array}$ Contoh barisan aritmatika $1 , 3 , 5 , 7 , 9 , . . . .$ dengan $a = 1, b = 3 - 1 = 2$
Jika $x, y, z$ merupakan barisan aritmatika, maka berlaku $2y = x + z$
Jika pada barisan artimatika disisipkan k buah bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika baru, maka $b_{baru} = \frac{b_{lama}}{k + 1}$ dengan k adalah banyaknya bilangan yang disisipkan.

Suku ke-n Barisan Aritmatika

Untuk mencari suku ke-n barisan aritmatika perhatikan langkah berikut:
$\begin{array} {rcl} U_1 &=& a \\ U_2 &=& a + b \\ U_3 &=& a + 2b \\ U_4 &=& a + 3b \\ \vdots \\ U_n &=& a+(n-1)b \end{array}$ Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika $U_n = a + (n-1)b$

Deret Artimatika

Jika $U_1 , U_2 , U_3 , U_4 , . . . , U_{n-1}, U_n$ merupakan barisan aritmatika, maka
$U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + . . . + U_{n-1}+ U_n$ merupakan deret aritmatika.

Jumlah n suku Deret Aritmatika

Jumlah n suku pertama deret aritmatika dinotasikan dengan $S_n$ .
Untuk mendapatkan rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika perhatikan langkah-langkah berikut:
Sn deret aritmatika

$2S_n= n(U_1 + U_n)$
$S_n = \frac{n}{2}[U_1 + U_n]$ atau karena $U_n = a + (n-1)b]$ maka

$S_n = \frac{n}{2}[2a + (n-1)b]$

Keterangan:
$\begin{array}{rcl} S_n &=& \text{ Jumlah n suku deret aritmatika } \\ n &=& \text{ banyaknya suku } \\ a &=& \text { Suku pertama } \\ b &=& \text{ beda/selisih } \end{array}$ Suku ke-n dari barisan aritmatika juga bisa dicari menggunakan rumus berikut:

$U_n = S_n - S_{n-1}$

Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika

Suatu barisan aritmatika dengan banyaknya suku $2k-1$ dimana $k \geq 2, k \in \text{ bilangan asli }$ maka untuk mencari suku tengahnya dapat digunakan rumus:

$U_k = \frac{1}{2}[U_1 + U_{2k-1}]$

Keterangan:

$\begin{array}{rcl} U_k &=& \text{ suku tengah } \\ U_{2k-1} &=& \text{ suku terakhir } \end{array}$

OSN Matematika (Latihan Soal)

1. Untuk suatu bilangan n yang dinyatakan dalam basis sepuluh, f(n) dide_nisikan
sebagai jumlah dari semua bilangan yang diperoleh melalui mencoreti digit - digit
yang mungkin dari n. Sebagai contoh untuk n = 1234, f(n) = 1234 + 123 + 124 +
134 + 234 + 12 + 13 + 14 + 23 + 24 + 34 + 1 + 2 + 3 + 4 = 1979. Sebab jika kita
mencoret 0 digit kita memperoleh 1234, jika kita mencoret 1 digit kita memperoleh
123,124,134,234, jika kita mencoret 2 digit kita memperoleh 12, 13, 14, 23, 24, 34,
jika kita mencoret 3 digit kita memperoleh 1, 2, 3, 4 dan jika kita mencoret 4 digit
kita memperoleh 0 yang tidak mempengaruhi jumlah f(n). Jika n adalah bilangan
yang terdiri dari 2011 digit, buktikan bahwa f(n) �� n habis dibagi 9.

2. Untuk setiap bilangan asli n, dide_nisikan Sn sebagai banyaknya permutasi (a1; a2; a3; _ _ _ ; an) dari (1; 2; 3; _ _ _ ; n) sedemikian sehingga a11+a2 2+a3 3+ _ _ _An n merupakan bilangan asli. Buktikan bahwa S2n _ n untuk setiap bilangan asli n.

3. Diberikan sebarang segitiga lancip ABC. Misalkan la garis yang melalui A dan
tegak lurus AB, lb garis yang melalui B dan tegak lurus BC, lc garis yang melalui
C dan tegak lurus CA. Misalkan garis lb dan lc berpotongan di titik D, garis lc
dan la berpotongan di titik E dan terakhir garis la dan lb berpotongan di titik F.
Buktikan bahwa luas segitiga DEF paling sedikit tiga kali luas segitiga ABC.

4. Di sebuah pulau terdapat sepuluh kota, dimana kota - kota tersebut dihubungkan
dengan ruas - ruas jalan. Ada 2 kota yang terhubung, ada juga yang tidak. Suatu
rute yang dimulai dari suatu kota mengunjungi tepat 8 dari 9 kota lainnya masing
- masing sekali dan kembali ke kota awal dinamakan rute wisata. Tentukan banyak
ruas jalan minimal yang perlu untuk dibuat sehingga apabila diberikan sebarang
kota di pulau tersebut, ada rute wisata yang tidak melewati kota tersebut.

Yulhie's Blog